## 一、几何光学（一）

### 1. 基本概念

波速 $u=\dfrac{c}{n}$，频率 $\nu$，波长 $\lambda=\dfrac{u}{\nu}$. 光进入不同介质后，$\nu$ 不变，$u$ 和 $\lambda$ 会变.

**可见光**：$\lambda\in[390,760]\,\text{nm}$.

**光源**：任何发光的物体（分为点光源、扩展光源等）.

**光线**：表示光波能流传播方向的几何线.

**光束**：有一定几何关系的光线的集合（分为同心光束和非同心光束）.

**波面**：电磁波相位相同的点的集合. 在各向同性介质中，光线的方向是波面的法线方向.

### 2. 基本定律

**光的直线传播定律**：光在各向同性、均匀的介质中沿直线传播. 在非均匀介质中，光以曲线传播，向折射率增大的方向弯曲.

**光的独立传播定律**：当多束非相干光线通过空间某点时，各光线的传播保持自己的特性不变，不受其它光线的影响.

**折射定律**：

$$n\sin I=n'\sin I'$$

**反射定律**：

$$n'=-n,\qquad I'=-I$$

**光路可逆性原理**：光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时必沿同一路径反向传播.

同一透明介质对于不同波长的单色光具有不同的折射率，这一现象称为**色散**.

几何光学基本定律成立条件：

- 均匀介质：折射率处处相等，不是位置的函数；
- 各向同性：折射率各向相等，不是方向的函数；
- 光强不强：满足线性叠加规律；
- 线度大于波长：线度大于所研究光的波长.

### 3. 费马（Fermat）原理

**光程**：光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的乘积.

**Fermat 原理**：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）的路径，即光程的一阶变分为零：

$$\delta\int_A^B n\,\mathrm{d}l=0$$

#### 3.1 使用 Fermat 原理证明反射定律

> **证明：**
>
> 设反射面为 $x$ 轴，入射光线上一点 $(x_1,y_1)$、反射光线上一点 $(x_2,y_2)$ 位于 $x$ 轴同侧，入射点为 $(x,0)$，则光程为
>
> $$f(x)=\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}+\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}$$
>
> 由 Fermat 原理，光程取极值，故 $f'(x)=0$，即
>
> $$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2(x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-2(x_2-x)}{\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}=0$$
>
> 又有
>
> $$\sin\alpha=\dfrac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}},\qquad \sin\beta=\dfrac{x_2-x}{\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}$$
>
> 所以
>
> $$\sin\alpha=\sin\beta$$
>
> 因为 $\alpha$、$\beta$ 均为光线与法线（$y$ 轴方向）的夹角，都取锐角，所以
>
> $$\alpha=\beta$$
>
> 即
>
> 入射角等于反射角.
>
> 原命题得证.

#### 3.2 使用 Fermat 原理证明折射定律

> **证明：**
>
> 设界面为 $x$ 轴，入射光线上一点 $(x_1,y_1)$ 与折射光线上一点 $(x_2,y_2)$ 位于 $x$ 轴两侧，入射点为 $(x,0)$，则光程为
>
> $$f(x)=n\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}+n'\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}$$
>
> 由 Fermat 原理，光程取极值，故 $f'(x)=0$，即
>
> $$f'(x)=n\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2(x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}}+n'\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-2(x_2-x)}{\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}=0$$
>
> 又有
>
> $$\sin\alpha=\dfrac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+y_1^2}},\qquad \sin\beta=\dfrac{x_2-x}{\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}$$
>
> 所以
>
> $$n\sin\alpha=n'\sin\beta$$
>
> 即
>
> $$n\sin I=n'\sin I'$$
>
> 这就是折射定律.
>
> 原命题得证.

#### 3.3 Fermat 原理的不同情况

**（1）极小值**：光的直线传播定律、反射定律、折射定律；

**（2）稳定值**：椭球面反射镜；

**（3）最大值**：半球面反射镜.

#### 3.4 Fermat 原理与成像

- 严格等光程 $\iff$ 严格成像；
- 近似等光程 $\iff$ 近似成像；
- 非等光程一般不能成完善像.

### 4. 物像虚实

发出入射光线的是**物**，由出射光线形成的是**像**.

光线真正的交点就是**实物**或**实像**；光线延长线的交点就是**虚物**或**虚像**.

**物空间**：物所在的空间.

**像空间**：像所在的空间.

> **注意**：
>
> - 虚物不能人为设定，只能由系统元件产生；
> - 通常在光学设计中，系统至少要有一个实像，否则会抑制系统的功能；
> - 物像空间是按照光线所在的空间来判断；
> - 物像空间是可以无限延伸的；
> - **共轭**：互成物像关系.

### 5. 符号法则

各量的记号与符号约定由下图给出：

![符号法则示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/6vmslx80.webp "max-height:460px")

图中横向直线为光轴，弧线为折射球面，$A$ 为物点、$A'$ 为像点、$P$ 为球面顶点、$C$ 为球心，$\varphi$ 为球心角.

各量的记号：

- $L$：物距（物方截距）；
- $L'$：像距（像方截距）；
- $r$：球面曲率半径；
- $U$：入射光线与光轴的夹角；
- $U'$：出射光线与光轴的夹角；
- $I$：入射光线与法线的夹角（入射角）；
- $I'$：折射光线与法线的夹角（折射角）；
- $y$：垂轴尺寸.

符号约定：

- 轴向尺寸（$L$、$L'$、$r$）：由球面顶点算起，与光线传播方向一致为正，反之为负；
- 垂轴尺寸（$y$）：由光轴算起，在光轴上方为正，下方为负；
- 光线与光轴的夹角（$U$、$U'$）：由光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负；
- 光线与法线的夹角（$I$、$I'$）：由光线转向法线，顺时针为正，逆时针为负.

各量的正负号按上面的符号约定确定，示例如图：

![符号法则示例](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/rg119e6g.webp "max-height:380px")

### 6. 单球面物像关系

#### 6.1 单球面折射公式

实际光线的各量按第 5 节的符号法则取正负，光路如图所示：

![单球面折射的光路示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/15h1y90e.webp "max-height:380px")

在 $\triangle APC$ 中，由正弦定理得

$$\dfrac{L-r}{\sin I}=\dfrac{r}{\sin U}\qquad\Rightarrow\qquad \sin I=\dfrac{L-r}{r}\sin U$$

由折射定律得

$$\sin I'=\dfrac{n}{n'}\sin I$$

又由 $\triangle APC$ 与 $\triangle A'PC$ 得

$$\varphi=I'+U'=I+U\qquad\Rightarrow\qquad U'=I+U-I'$$

在 $\triangle A'PC$ 中，由正弦定理得

$$L'=r\dfrac{\sin I'}{\sin U'}+r$$

结论：

- 当折射球面确定时，出射光线 $L'$、$U'$ 与入射光线的位置、入射角有关；
- 一个物点经过单球面折射成像后，不会会聚于一点；
- 点物不能成点像，一般是不完善像（球面像差）.

**完善像**：像与物只有大小的变化，而没有形状的改变.

近轴光（孔径角很小，满足 $\sin I\approx I$ 等近似）下，相应的量用小写字母 $l$、$l'$、$u$、$u'$、$i$、$i'$ 表示，上述光路计算式化为**单球面折射公式**：

$$\dfrac{n'}{l'}-\dfrac{n}{l}=\dfrac{n'-n}{r}$$

其中 $l$ 是物距，$l'$ 是像距，$r$ 是球面曲率半径，均按符号法则取正负.

#### 6.2 物方焦距与像方焦距

令像在顶点右侧的无穷远（$l'\to\infty$），由单球面折射公式得

$$-\dfrac{n}{l}=\dfrac{n'-n}{r}$$

此时解得的物方截距 $l$ 即为**物方焦距**（记作 $f$）.

令物在顶点左侧的无穷远（$l\to-\infty$），由单球面折射公式得

$$\dfrac{n'}{l'}=\dfrac{n'-n}{r}$$

此时解得的像方截距 $l'$ 即为**像方焦距**（记作 $f'$）.

二者存在关系

$$\dfrac{f}{f'}=-\dfrac{n}{n'}$$

#### 6.3 阿贝（Abbe）不变量与光焦度

**Abbe 不变量**：

$$Q=n'\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{l'}\right)=n\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{l}\right)$$

一个折射球面，物空间和像空间的 $Q$ 值是相同的，其数值随共轭点的位置而异.

**光焦度**：

$$\Phi=\dfrac{1}{r}(n'-n)$$

$\Phi$ 表征折射表面曲折光线的本领，单位为 $\text{m}^{-1}$. $\Phi>0$ 起会聚作用，$\Phi<0$ 起发散作用.

#### 6.4 转面公式

$$n_{k+1}=n_k',\qquad U_{k+1}=U_k',\qquad L_{k+1}=L_k'-d$$

转面公式中各量的对应关系如图所示：

![转面公式示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/3sgkry0y.webp "max-height:460px")

#### 6.5 垂轴放大倍率

$$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{l'-r}{l-r},\qquad \beta=\dfrac{nl'}{n'l}$$

垂轴放大倍率与物像位置的关系如图所示：

![垂轴放大倍率示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/8eaqi0c8.webp "max-height:380px")

- $\beta>0$：正像，物像虚实相反；
- $\beta<0$：倒像，物像虚实一致；
- $|\beta|>1$：放大；
- $|\beta|<1$：缩小.

物像虚实与放大倍率正负的关系如图所示：

![物像虚实示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ws3oeie0.webp "max-height:300px")

垂轴放大倍率随共轭面改变，一对垂轴共轭面内的垂轴放大倍率相同.

#### 6.6 轴向放大倍率

**轴向放大倍率**：光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的比例关系.

$$\alpha=\dfrac{\mathrm{d}l'}{\mathrm{d}l}=\dfrac{n{l'}^2}{n'l^2}=\dfrac{n'}{n}\beta^2$$

物点与像点沿光轴的移动关系如图所示：

![轴向放大倍率示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/scnkc4ki.webp "max-height:380px")

若移动距离较大，则有：

$$\alpha=\dfrac{n'}{n}\beta_1\beta_2$$

$\alpha$ 恒大于 $0$，意味着物沿光轴移动时像沿光轴同向移动，即物像移动方向相同.

$\alpha\neq\beta$ 意味着物像移动速度不一致，会导致像发生轴向畸变（空间失真）.

#### 6.7 角放大倍率

**角放大倍率**：近轴区一对共轭光线的像方孔径角与物方孔径角之比.

$$\gamma=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{l}{l'}=\dfrac{n}{n'}\cdot\dfrac{1}{\beta}$$

共轭光线与光轴夹角的关系如图所示：

![角放大倍率示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ljzkeoul.webp "max-height:380px")

#### 6.8 三种放大倍率的关系

$$\alpha=\dfrac{n'}{n}\beta^2,\qquad \alpha\gamma=\beta,\qquad \gamma=\dfrac{n}{n'}\cdot\dfrac{1}{\beta}$$

### 7. 反射球面

反射球面的物像关系由上面的单球面折射公式令 $n'=-n$ 得到，即

$$\dfrac{1}{l'}+\dfrac{1}{l}=\dfrac{2}{r}$$

$$\beta=-\dfrac{l'}{l},\qquad \alpha=-\beta^2,\qquad \gamma=-\dfrac{1}{\beta}$$

光路如图所示：

![反射球面示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/7fkoavyv.webp "max-height:380px")

图上的 $l$、$l'$、$r$ 与三种放大倍率均按第 5 节的符号法则取正负.

### 8. 拉赫不变量

由垂轴放大倍率与角放大倍率

$$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{nl'}{n'l},\qquad \gamma=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{l}{l'}$$

可得

$$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{nu}{n'u'}$$

即**拉赫不变量**（又称**拉格朗日-赫姆霍兹（Lagrange-Helmholtz）恒等式**）：

$$nuy=n'u'y'=J$$

拉赫不变量说明了：每个近轴球面的作用基本上是将这个拉赫不变量在孔径角和物（像）高之间重新分配.

其数值大小决定了光学系统设计的难易程度，数值越大，光学系统设计起来越难，反之亦然.

## 二、几何光学（二）

### 1. 理想光学系统

由之前内容可知，当物体通过折射球面成像时，除了位于近轴区内的物体外，均不能成完善像；而近轴区的成像范围和光束宽度均很小，约束较大.

**理想光学系统**：能够对任意宽空间内的任意点以任意宽光束成完善像的系统，也就是把近轴光学系统成完善像的范围扩大到任意空间后所得的系统.

- 它是一个完全的理想模型；
- 研究它的意义在于能够比较实际光学系统的像质；
- 成完善像遵循点对应点、直线对应直线、平面对应平面的原则.

其中，点对应点意味着：

物空间的每一点，在像空间有且只有一点与之对应，这两个对应点互为**共轭点**.

### 2. 共轴球面理想光学系统

成像特征：

- 光轴上的物点一定成像在光轴上；
- 垂直于光轴的物平面，其像面也一定垂直于光轴；
- 垂直于光轴的同一平面上各部分的放大率相等.

当系统的物像空间符合理想成像关系时，一般来说物像并不相似，这并不利于人们观察实际物体的情况. 因此，实际中我们总是取垂直于光轴的共轭面.

### 3. 基点基面

**基点**：光学系统中的三个特殊共轭点，即焦点、主点、节点.

**基面**：光学系统中的三个特殊共轭面，即焦平面、主平面、节平面.

基点基面的作用：已知光学系统的基点和基面可以确定一切物点的像点.

「确定一切物点的像点」需满足的条件（满足任意其一即可）：

- 已知光学系统的两对共轭面的位置及放大倍率；
- 已知光学系统的两对共轭点、一对共轭面的位置及放大倍率.

满足第一种条件的情形如图所示：

![已知两对共轭面位置及放大倍率确定像点的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/27ry542v.webp "max-height:460px")

满足第二种条件的情形如图所示：

![已知两对共轭点及一对共轭面确定像点的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/06ezj4c2.webp "max-height:460px")

### 4. 共轴球面理想光学系统的基点基面

#### 4.1 与焦点、焦平面相关

**焦平面**：过焦点垂直于光轴的平面.

焦平面的性质如图所示：无限远的轴外物点发出的平行光线经过光学系统后交于像方焦平面上的某一点；自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束.

![像方焦平面与物方焦平面性质的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/pwvca1eb.webp "max-height:300px")

- 像方焦点与物方无限远轴上点是一对共轭点；
- 像方焦平面与物方无限远垂轴平面是一对共轭平面.

> **注意**：物方焦点与像方焦点**不是**一对共轭点.

#### 4.2 与主点、主平面相关

**主平面**：$\beta=1$ 的一对共轭面.

![主平面示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/khn6oh97.webp "max-height:260px")

- 物方主点和像方主点是一对共轭点，这一对共轭点的放大倍率 $\beta=1$；
- 物方主平面和像方主平面是一对共轭面.

#### 4.3 与节点相关

**节点**：$\gamma=1$ 的一对共轭点.

- 过节点的光线通过系统以后传播方向不变；
- 系统物像空间位于同一介质中，节点与主点重合.

综上，可用一对主平面和两个焦点位置来代表一个光学系统，如图所示.

![用一对主平面和两个焦点代表光学系统的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/owwx8nqk.webp "max-height:380px")

### 5. 焦距

- 由像方主点 $H'$ 到像方焦点 $F'$ 的距离称为像方焦距，用 $f'$ 表示；
- 由物方主点 $H$ 到物方焦点 $F$ 的距离称为物方焦距，用 $f$ 表示.

![焦距示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/jvapi3n5.webp "max-height:120px")

焦距的符号法则：

- $f'$：以 $H'$ 为起点到 $F'$，从左到右为正；
- $f$：以 $H$ 为起点到 $F$，从左到右为正.

> **注意**：焦距的定义不是以透镜顶点或光心为起点.

### 6. 理想光学系统的物像关系

#### 6.1 典型光路

会聚光组（$f'>0$）如图所示：

![会聚光组示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/u52fwps6.webp "max-height:380px")

发散光组（$f'<0$）如图所示：

![发散光组示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/yl2n0ecu.webp "max-height:380px")

光轴上物点的成像如图所示：

![光轴上物点成像的光路示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/q6ku9prv.webp "max-height:300px")

- 物是由入射光线形成的，或发出光线的是物；
- 像是由出射光线形成的，或光线的会聚是像.

#### 6.2 解析法的符号法则

解析法所用的符号法则如图所示：

![解析法所用符号法则的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/eamddvg8.webp "max-height:380px")

#### 6.3 牛顿（Newton）公式

$$xx'=ff'$$

#### 6.4 高斯（Gauss）公式

$$\dfrac{f'}{l'}+\dfrac{f}{l}=1$$

当物像空间为同一介质（$f'=-f$）时，又可写成

$$\dfrac{1}{l'}-\dfrac{1}{l}=\dfrac{1}{f'}$$

#### 6.5 物方焦距和像方焦距的关系

仅有折射面时，有

$$\dfrac{f}{f'}=-\dfrac{n}{n'}$$

兼有折射面和反射面时，有

$$\dfrac{f}{f'}=(-1)^{k+1}\dfrac{n}{n'}$$

其中 $k$ 为反射面的个数.

### 7. 理想光学系统的性质

$$\beta=\dfrac{l'}{l}=-\dfrac{x'}{f'}=-\dfrac{f}{x}$$

当物像空间为同一介质（$f'=-f$）时，还有

$$\beta=\dfrac{f'-l'}{f'}$$

$$\gamma=-\dfrac{f}{f'}\cdot\dfrac{1}{\beta}$$

$$\alpha=-\beta^2\cdot\dfrac{f'}{f}\qquad\alpha\cdot\gamma=\beta$$

若 $J$ 和 $J'$ 是一对节点，那么 $x_J=f',x_J'=f$.

节点与主点的位置关系如图所示：

![节点与主点位置关系的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/jq4a1uf7.webp "max-height:380px")

### 8. 单个反射球面的主点和焦点

单个反射球面的两个主点与 $P$ 点重合，两个主平面相切于反射面的顶点；其焦点满足：

$$f'=f=\dfrac{r}{2}$$

### 9. 理想光组的组合

理想光组组合的光路如图所示：

![理想光组组合的光路示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/xahlsu8s.webp "max-height:460px")

$$\Delta=d-f_1'+f_2$$

$$f=\dfrac{f_1f_2}{\Delta}\qquad f'=-\dfrac{f_1'f_2'}{\Delta}$$

$$l'_H=-f'\dfrac{d}{f_1'}=f_2'\dfrac{d}{\Delta}\qquad l_H=f\dfrac{d}{f_2}=f_1\dfrac{d}{\Delta}$$

上述公式的简化总结如图所示：

![理想光组组合公式的简化总结示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/6yjwr2gg.webp "max-height:460px")

## 三、波动光学

### 1. 光是电磁波

**机械波**：机械振动在介质中传播形成的波，简称波.

形成机械波的条件是存在**波源**和**介质**.

**简谐波**：简谐振动在介质中的传播（介质中各质点作相同频率的简谐振动）.

**平面简谐波**：波面为平面的简谐波.

复杂的波可分解为一系列简谐波，平面简谐波各处振幅相同.

简谐振动的描述：

$$\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi\nu \qquad \nu=\dfrac{u}{\lambda}$$

$\varphi_0$ 为初相位，$A$ 为振幅，$\cos(\omega t+\varphi_0)$ 为相位，$T$ 为周期，$\omega$ 为时间圆（角）频率，$\nu$ 为时间频率.

**电磁波**：交变电磁状态的传播，电磁波是横波.

振动量 $E$、$H$ 与波速 $u$ 构成相互垂直的右手螺旋关系，$E$、$H$ 分别在各自的平面上振动.

电场与磁场同相变化：$\sqrt{\epsilon}E=\sqrt{\mu}H$，$\epsilon$ 是介电常数，$\mu$ 是磁导率.

振幅之间满足：$\sqrt{\epsilon_0}E_0=\sqrt{\mu_0}H_0$.

- $\mu_0$：真空磁导率，$4\pi\times 10^{-7}\,\text{H/m}$；
- $\epsilon_0$：真空介电常数，$8.85\times 10^{-12}\,\text{F/m}$.

电磁波中 $E$、$H$ 与 $u$ 的右手螺旋关系如图所示：

![电磁波中电场、磁场与波速方向成右手螺旋关系的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/2ckwtbu3.webp "max-height:300px")

真空中，$u=c$；介质中，$u=\dfrac{c}{n}<c$，$n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}$ 为折射率.

光波中参与物质相互作用的是 $E$ 矢量，称为**光矢量**.

光学中，通常把平均能流密度称为**光强**，用 $I$ 表示.

对于平面简谐电磁波：

$$I=\dfrac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}|E|^2\,\mathrm{d}t$$

在波动光学中，直接在同一介质中把光强定义为：

$$I=E_0^2=A^2$$

对简谐波有 $\overline{|E|^2}=\dfrac{1}{2}E_0^2$，这与第一式相差常数因子 $\dfrac{1}{2}$，此处只关心相对强度.

### 2. 简谐振动的合成

设两个分振动分别为

$$x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\qquad x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

合振动：$x=x_1+x_2=A\cos(\omega t+\varphi)$，其中：

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\qquad \tan\varphi=\dfrac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$$

- 若两个分振动同相，即 $\varphi_2-\varphi_1=2k\pi\,(k\in Z)$，则 $A=A_1+A_2$，两个分振动相互加强；
- 若两个分振动反相，即 $\varphi_2-\varphi_1=(2k+1)\pi\,(k\in Z)$，则 $A=|A_1-A_2|$，两个分振动相互减弱，且当 $A_1=A_2$ 时，$A=0$.

### 3. 波的干涉

#### 3.1 基本概念

**光源**：任何发光物体. 光源的最基本发光单元是分子、原子.

**普通光源**：自发辐射.

**激光光源**：受激辐射.

**干涉现象**：当两列（或多列）相干波叠加时，其合振幅 $A$ 和合强度 $I$ 在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱.

**相干条件**：频率相同、振动方向相同、相位差恒定.

**相干波**：满足相干条件的波.

**相干波源**：产生相干波的波源.

**波传播的独立性**：当几列波相遇后再行分开时，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性.

**叠加原理**：在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动.

#### 3.2 干涉规律

设两个波源 $S_1$、$S_2$ 的振动分别为

$$y_{01}=A_{01}\cos(\omega_1t+\varphi_1),\qquad y_{02}=A_{02}\cos(\omega_2t+\varphi_2)$$

两波传到 $P$ 点时的振动方程分别为

$$y_1=A_1\cos\left(\omega_1t+\varphi_1-2\pi\dfrac{r_1}{\lambda}\right),\qquad y_2=A_2\cos\left(\omega_2t+\varphi_2-2\pi\dfrac{r_2}{\lambda}\right)$$

若 $\omega_1=\omega_2=\omega$，则 $P$ 点处合振动方程为：

$$y=y_1+y_2=A\cos(\omega t+\varphi)$$

合振动的振幅：

$$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi$$

其中

$$\Delta\varphi=(\omega_2-\omega_1)t+(\varphi_2-\varphi_1)-2\pi\dfrac{r_2-r_1}{\lambda}$$

$P$ 点处波的强度：

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$$

其中 $2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$ 称为**干涉项**，即

$$2\sqrt{I_1I_2}\dfrac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\cos\Delta\varphi\,\mathrm{d}t$$

对于非相干光源，有 $2\sqrt{I_1I_2}\cdot\overline{\cos\Delta\varphi}=0$，则 $I=I_1+I_2$.

若想获得稳定干涉，需满足：

$$A_1\cdot A_2\neq0\qquad \omega_1=\omega_2\qquad \varphi_1-\varphi_2=C$$

以上即「相干条件」中要求的三个要素，此时则有 $I\neq I_1+I_2$.

$\Delta\varphi$ 只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的相位差，因而有不同的数值.

两列波在空间不同的地点有不同的相位差，叠加后有不同的强度，出现干涉现象.

波的干涉的实质为相干波在相遇点振动的叠加.

**强度分布**：

若 $\Delta\varphi=\pm2k\pi$，强度有极大值：$I_{\max}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}$；

若 $\Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi$，强度有极小值：$I_{\min}=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}$.

特别地，当 $I_1=I_2$ 时，$I_{\max}=4I_1$，$I_{\min}=0$.

**条纹形状**：

若波程差 $\delta=r_2-r_1=k\lambda$，则出现干涉相长条纹，强度有极大值；

若波程差 $\delta=r_2-r_1=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$，则出现干涉相消条纹，强度有极小值.

特别地，当 $\varphi_1=\varphi_2$ 时，条纹形状为双曲线.

一条条纹上所有点的相位差、波程差相等.

### 4. Young 干涉（一）

普通光源获得相干光的两种方法：分波面法（杨氏（Young）干涉）、分振幅法（薄膜干涉），都是「自己和自己相干」.

分波面法与分振幅法获得相干光的过程如图所示：

![分波面法与分振幅法获得相干光的示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/gbqhpk23.webp "max-height:380px")

Young 干涉实验装置如图所示：

![Young 干涉实验示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/a8oe0y63.webp "max-height:380px")

两波在 $P$ 点的相位差 $\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac{xd}{D}$，波程差 $\delta=\dfrac{xd}{D}$（都需满足 $x,d\ll D$）.

#### 4.1 明纹暗纹

**（1）明纹**：$\Delta\varphi=2k\pi$，$x_k=k\dfrac{\lambda D}{d}$（$k=0,\pm1,\pm2,\cdots$），相邻明纹中心间距 $\Delta x=\dfrac{\lambda D}{d}$；

**（2）暗纹**：$\Delta\varphi=(2k+1)\pi$，$x_k=(k+\dfrac{1}{2})\dfrac{\lambda D}{d}$（$k=0,\pm1,\pm2,\cdots$），相邻暗纹中心间距 $\Delta x=\dfrac{\lambda D}{d}$.

因此有：狭缝间距 $d$ 越小、双缝和光屏之间的距离 $D$ 越大、波长 $\lambda$ 越长，相邻明纹中心间距 $\Delta x$ 越大，现象越明显.

明纹和相邻暗纹的间距为 $\dfrac{\lambda D}{2d}$.

#### 4.2 光强分布

$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\dfrac{2\pi}{\lambda}\delta)$，若 $I_1=I_2$，有 $I=4I_0\cos^2(\dfrac{\Delta\varphi}{2})$.

光强分布如图所示：

![双缝干涉光强分布图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/xsdzbluu.webp "max-height:380px")

#### 4.3 可见度（对比度）

$$V=\dfrac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}\in[0,1]$$

若 $I_{\min}=0$，则 $V=1$；若 $I_{\min}=I_{\max}$，则 $V=0$.

在 Young 双缝干涉中，$V=\dfrac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$，$I_1=I_2$ 时 $V=1$，$I_1\gg I_2$ 或 $I_2\gg I_1$ 时 $V\to0$. 故两个狭缝进光量差距非常大时无法观测到干涉现象，但此时干涉现象依然存在.

#### 4.4 光源偏移

光源向上偏移 $\epsilon$，仍然有干涉现象. 条纹整体向下平移 $\dfrac{D}{R}\epsilon$，间距不变，新的零级条纹在 $x=-\dfrac{D}{R}\epsilon$ 处.

光源偏移后条纹的平移如图所示：

![光源偏移示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/wikbqcu3.webp "max-height:380px")

#### 4.5 白光光源

另外，当用白光作为光源时，在零级白色中央条纹两边对称地排列着几条彩色条纹. 但是条纹会出现重叠，如高一级的紫色光可能会与低一级的红色光发生重叠.

白光的双缝干涉现象如图所示：

![白光的双缝干涉实验](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/d6zucf1u.webp "max-height:200px")

#### 4.6 改变介质

将 Young 双缝干涉装置放在水中，原来的波程差 $\delta$ 保持不变，但是相位差 $\Delta\varphi$ 发生了变化，因为波长变小了.

光在介质中传播距离为 $d$ 时，相位的改变为：

$$\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}(nd)$$

即为光程差.

### 5. Young 干涉（二）

#### 5.1 洛埃（Lloyd）镜

Lloyd 镜的示意图如下：

![Lloyd 镜示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ix63xsne.webp "max-height:380px")

Lloyd 镜实验结果和 Young 双缝干涉实验类似. 接触处，屏上 $O$ 点出现暗条纹，因为有**半波损失**.

#### 5.2 半波损失

光波从折射率小的光疏介质（如空气）向折射率大的光密介质入射时，反射光要产生数值为 $\pi$ 的相位突变，这相当于反射光波多走了（或少走了）半个波长.

透射波没有半波损失.

#### 5.3 菲涅耳（Fresnel）双面镜

Fresnel 双面镜的示意图如下：

![Fresnel 双面镜示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/jlchwwr0.webp "max-height:380px")

调节两平面镜之间的夹角 $\varphi$，可改变 $S_1$ 和 $S_2$ 的间距，从而改变干涉条纹疏密程度.

$\varphi$ 必须很小，否则干涉条纹过密，无法观察到明显的干涉现象.

#### 5.4 Fresnel 双棱镜

Fresnel 双棱镜的示意图如下：

![Fresnel 双棱镜示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/him89ndw.webp "max-height:380px")

### 6. 薄膜干涉

#### 6.1 等倾干涉

等倾干涉的条件是薄膜的厚度均匀.

两条光线的光程差为

$$\delta=n_2(L_{ab}+L_{bc})-n_1L_{ad}+\dfrac{\lambda}{2}$$

由三角函数关系得

$$\delta=2n_2e\cos\gamma+\dfrac{\lambda}{2}=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\dfrac{\lambda}{2}$$

薄膜干涉的光路如图所示：

![薄膜干涉光路示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ax8dd6eo.webp "max-height:350px")

**（1）明纹**：$\delta=k\lambda$（$k=1,2,\dots$）；

**（2）暗纹**：$\delta=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$（$k=1,2,\dots$）.

相邻条纹间距为

$$\mathrm{d}\gamma=\dfrac{\lambda}{2n_2e\sin\gamma}$$

入射角度相同处，光程差相同. 但是要注意半波损失是否存在，透镜不产生附加光程差.

等倾干涉的同心圆环条纹如图所示：

![等倾干涉同心圆环条纹示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ixs3eehv.webp "max-height:460px")

**条纹形状及特点**：

1. 同一入射角的光会汇聚于一个圆周上，因此到达圆周上各点的两反射光的光程差都相同；

2. 等倾干涉条纹为一系列同心圆环，内高外低、内疏外密；

3. 圆环中心所对应的干涉级最高，可能是亮点，也可能是暗点；

4. 使用面光源条纹更清楚明亮；

5. 透射光图样与反射光图样互补；

6. 第 $k$ 级条纹对应的光程差：$\delta_k=2n_2e\cos\gamma_k+\dfrac{\lambda}{2}=k\lambda$；

7. 对任一条纹，其 $k$ 值确定，若 $e$ 增大，则 $\cos\gamma$ 减小，$\gamma$ 增大，此时条纹向边缘移动，圆环半径增大，或从中心冒出条纹；

8. 对空气薄膜来说，厚度每增加 $\dfrac{\lambda}{2}$，中心冒出一个新的条纹.

**透射光**：

两条透射光线的光程差：

$$\delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}$$

其与反射光相比，没有半波损失.

**（1）明纹**：$\delta=k\lambda$（$k=1,2,\dots$）；

**（2）暗纹**：$\delta=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$（$k=1,2,\dots$）.

综上，对同一薄膜而言，在同一处，若反射光线干涉为加强，则透射光线干涉为减弱，反之亦然.

即反射干涉与透射干涉互补（能量守恒），其应用：增透膜、增反膜等.

#### 6.2 等厚干涉

等厚干涉的条件是薄膜的厚度不均匀.

两条光线的光程差为

$$\delta=n_2(L_{AB}+L_{BC})-n_1L_{AD}+\dfrac{\lambda}{2}$$

由三角函数关系得

$$\delta=2n_2d\cos\gamma+\dfrac{\lambda}{2}=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\dfrac{\lambda}{2}$$

等厚干涉的光路如图所示：

![等厚干涉光路示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ea12ur3c.webp "max-height:380px")

设薄膜折射率为 $n_2$，入射光在真空中的波长为 $\lambda$，两束反射光之间有一次半波损失. 当入射光垂直于薄膜表面时，光程差为

$$\delta=2n_2d+\dfrac{\lambda}{2}$$

**（1）明纹**：当 $\delta=k\lambda$ 时，反射光干涉加强，其中 $k=1,2,\dots$.

**（2）暗纹**：当 $\delta=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$ 时，反射光干涉减弱，其中 $k=0,1,2,\dots$.

当平行光以相同入射角照射厚度不均匀的薄膜时，厚度相同处的光程差相同. 因而同一条条纹对应相同的膜厚，称为**等厚干涉条纹**.

#### 6.3 劈尖干涉

夹角很小的两个平面之间形成的薄膜称为**劈尖**，两平面的夹角称为**劈尖角**. 设劈尖角为 $\theta$，薄膜的折射率为 $n_2$，入射光在真空中的波长为 $\lambda$，两束反射光之间有一次半波损失. 劈尖干涉的装置与几何关系如图所示：

![劈尖干涉实验装置与几何关系示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/k32jktvq.webp "max-height:460px")

当单色平行光近似垂直入射时，膜厚为 $d$ 处的反射光光程差为

$$\delta=2n_2d+\dfrac{\lambda}{2}$$

**（1）明纹**：当 $\delta=k\lambda$ 时，反射光干涉加强，其中 $k=1,2,\dots$.

**（2）暗纹**：当 $\delta=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$ 时，反射光干涉减弱，其中 $k=0,1,2,\dots$.

两表面理想接触处 $d=0$，反射光形成暗纹. 相邻两条明纹或相邻两条暗纹对应的膜厚之差为

$$\Delta d=\dfrac{\lambda}{2n_2}$$

当劈尖角很小时，膜厚近似为 $d=x\theta$，其中 $x$ 为距棱边的距离. 因而相邻同类条纹的间距近似为

$$a\approx\dfrac{\lambda}{2n_2\theta}$$

空气劈尖可取 $n_2\approx 1$. 其他条件不变时，劈尖角越大，条纹越密. 明纹、暗纹及相邻同类条纹的膜厚差如图所示：

![劈尖干涉的明纹中心、暗纹中心与相邻条纹的膜厚差示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/79lcyx2z.webp "max-height:380px")

劈尖干涉可用于检验平面表面的平整度. 若参考面平整，局部缺陷使空气膜的等厚线偏离直线，条纹便会发生弯曲；判断凸起或凹陷时，应结合参考面的位置以及膜厚增加的方向.

![左右扭曲示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/26i53un4.webp "max-height:380px")

#### 6.4 牛顿（Newton）环

将曲率半径为 $R$ 的平凸透镜凸面与平玻璃接触，两者之间形成厚度由中心向外增加的空气膜. 用单色光近似垂直照射时，反射光形成一组同心圆环，如图所示：

![牛顿环](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/tg9o03vz.webp "max-height:460px")

设距接触点的距离为 $r$，该处空气膜厚度为 $d$，则几何关系为

$$R^2=r^2+(R-d)^2$$

当 $d\ll R$ 时，可忽略 $d^2$，得到近似关系

$$d\approx\dfrac{r^2}{2R}$$

设入射光在真空中的波长为 $\lambda$，两束反射光之间有一次半波损失. 忽略空气折射率与 $1$ 的差异，光程差近似为

$$\delta\approx 2d+\dfrac{\lambda}{2}\approx\dfrac{r^2}{R}+\dfrac{\lambda}{2}$$

**（1）明环**：当 $\delta=k\lambda$ 时，明环半径近似为

$$r_k\approx\sqrt{\left(k-\dfrac{1}{2}\right)R\lambda},\qquad k=1,2,\dots$$

**（2）暗环**：当 $\delta=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$ 时，暗环半径近似为

$$r_k\approx\sqrt{kR\lambda},\qquad k=0,1,2,\dots$$

理想接触处对应 $k=0$，因此条纹内低外高，反射光的中心为暗斑. 相邻同类圆环所对应的空气膜厚度之差约为 $\dfrac{\lambda}{2}$；半径随着级次增大而增大，但相邻圆环的间距逐渐减小，所以条纹内疏外密.

Newton 环可用于测量透镜的曲率半径或检验光学表面的平整度.

#### 6.5 迈克耳孙（Michelson）干涉仪

Michelson 干涉仪用分束板将入射光分成两束，分别经反射镜 $M_1$ 和 $M_2$ 反射后重新叠加，如图所示：

![干涉仪示意图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/l5ozonx8.webp "max-height:460px")

反射镜 $M_1$ 可沿光轴移动，$M_2$ 的倾斜角度可以调节. 将 $M_2$ 经分束板所成的虚像记为 $M_2'$，两束光可等效为在 $M_1$ 和 $M_2'$ 之间形成的干涉，如图所示：

![干涉仪工作原理](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/scqnepxj.webp "max-height:460px")

当 $M_1$ 和 $M_2'$ 平行、等效间距为 $d$，光线与法线的夹角为 $\gamma$ 时，几何光程差为

$$\delta_{\mathrm{g}}=2d\cos\gamma$$

两光束在分束和反射时还可能产生固定的附加相位差. 以附加相位差等效为零的约定为例，$\delta_{\mathrm{g}}=k\lambda$ 对应干涉加强，$\delta_{\mathrm{g}}=(k+\dfrac{1}{2})\lambda$ 对应干涉减弱，其中 $k$ 为整数；具体亮暗级次应结合仪器的相位关系确定.

当 $M_1$ 与 $M_2'$ 平行时，可观察到等倾干涉条纹；当两者有很小的夹角，且以平行光照射时，可观察到等厚干涉条纹.

#### 6.6 光的时间相干性

光程差较小时，光波可能形成清晰的干涉条纹；光程差增大时，条纹会逐渐变得模糊，如图所示：

![光程差与时间相干性的关系](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/cr1im7to.webp "max-height:400px")

图中两束光的光程差较小时，波列重叠程度较高；光程差较大时，波列的重叠程度降低.

在波列模型中，原子一次持续发光的时间记为 $\tau_0$，称为**相干时间**；相应的波列长度 $L$ 称为**相干长度**. 在真空中，二者的关系为

$$L=c\tau_0$$

其中 $c$ 为真空中的光速. 相干时间越长，相干长度越长，光的**时间相干性**越好.

实际光源具有有限的频谱宽度 $\Delta\nu$（对应波长范围 $\Delta\lambda$）. 相干时间与频谱宽度的关系近似为

$$\tau_0\Delta\nu\approx 1$$

因此频谱越宽，相干时间和相干长度通常越小；频谱越窄，相干时间和相干长度通常越大.

在有限波列的近似模型中：

- 当光程差 $\delta=0$ 时，两波列充分重叠；
- 当 $|\delta|$ 接近 $L$ 时，波列重叠部分变短，干涉条纹逐渐模糊；
- 当 $|\delta|>L$ 时，波列不再重叠，干涉条纹消失.

因此，要观察清晰的干涉条纹，光程差的大小通常需要小于相干长度：

$$|\delta|<L$$

在杨氏干涉中，高级干涉条纹看不清或消失的原因之一是光程差超过相干长度. 实际光源的相干程度随光程差的变化取决于光谱形状，上述界限是波列模型下的近似描述.

#### 6.7 光的空间相干性

干涉实验中使用的光源通常具有一定宽度，称为**扩展光源**，可看作由许多彼此独立发光的部分组成.

- 当光源线度较小时，仍能分辨清楚干涉明暗条纹；
- 当光源线度 $b$ 增大到一定程度时，不同部分产生的条纹相互叠加，条纹可能消失.

空间相干性的近似条件为

$$b\theta<\lambda$$

其中 $\lambda$ 为波长，$\theta$ 为相干孔径角. 图中 $r$ 为光源到观察面的距离，$d$ 为相干区域的横向线度：

![扩展光源的相干孔径角与相干区域](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/8ai3n0va.webp "max-height:380px")

在小角度近似下，图中的 $d\approx r\theta$，相应的相干面积量级为 $d^2$. 由上述条件可得相干区域的线度约满足 $d<\dfrac{r\lambda}{b}$.

要观察清晰的干涉条纹，通常需要同时考虑时间相干性和空间相干性：

$$|\delta|<L\qquad b\theta<\lambda$$

空间相干性与扩展光源不同部分发光的独立性有关，时间相干性与光源的频谱宽度有关. 实际光源既有一定宽度，也有一定谱线宽度，因此两种相干性需要同时考虑.

### 7. 光的衍射

衍射图案可呈现中央明条纹和两侧较弱的明条纹，如图所示：

![光的衍射条纹](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/7hcn92w0.webp "max-height:120px")

图中的中央明条纹较宽、较亮，两侧明条纹的亮度逐渐减小.

#### 7.1 惠更斯（Huygens）-菲涅耳（Fresnel）原理

光在传播过程中绕过障碍物而偏离直线传播，并在屏幕上出现光强不均匀的分布现象，称为**光的衍射**. 意大利物理学家格里马尔迪（Grimaldi）在 17 世纪首先观察到光的衍射现象.

衍射现象是否明显取决于障碍物线度与波长的对比：波长越大或障碍物越小，衍射通常越明显.

**Huygens 原理**（子波原理）：

- 光波波面上任意一点都可看作新的次级波源，并各自向外发出子波；
- 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内传播到的新波面；
- 在均匀各向同性介质中，波的传播方向沿波面的法线方向.

Huygens 原理可以解释光的直线传播、反射和折射，但单凭子波包络的几何构造不能确定不同方向上光波的振幅和相位，也不能充分解释没有明显倒退波的问题.

**Huygens-Fresnel 原理**：同一波阵面上各点发出的子波经传播后，在空间某点相遇时相互叠加，形成该点的合振动.

波阵面上面积元 $\mathrm{d}S$ 发出的子波在 $P$ 点引起的振动为

$$\mathrm{d}E=C\dfrac{K(\theta)}{r}\cos(\omega t-kr)\mathrm{d}S$$

所有面积元发出的子波在 $P$ 点引起的合振动为

$$E=\int\mathrm{d}E=\int C\dfrac{K(\theta)}{r}\cos(\omega t-kr)\mathrm{d}S$$

同一波前上各点发出的相干子波在空间某点叠加，决定该点的振动与光强. 对一般衍射问题，直接用积分计算较复杂，实际中常用半波带法和振幅矢量法分析.